📚 引言：

在数学领域，拉格朗日中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在闭区间上的平均变化率与该区间内某点的瞬时变化率之间的关系。本文将通过逐步推导，详细证明这一重要结论。

📝 定义与假设：

设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则存在ξ∈(a, b)，使得：

\[ f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

🔍 推导过程：

首先，构造辅助函数 \( F(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \right] \)

- 此函数F(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

- 并且满足 \( F(a) = F(b) = 0 \)。

接下来，应用罗尔定理，可以得到存在ξ∈(a, b)，使得 \( F'(ξ) = 0 \)。

💡 结论：

因此，\( f'(ξ) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \)，即 \( f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。

🎉 总结：

通过上述证明，我们不仅验证了拉格朗日中值定理的正确性，还展示了如何利用辅助函数和罗尔定理来解决此类问题。希望这篇推导能够帮助读者更好地理解这一概念。